Théorèmes de Thalès et de Pythagore
Comprendre le Théorèmes de Thalès et de Pythagore
Dans un parc, Lisa et Max observent deux arbres alignés avec une statue. Ils se placent sur la ligne imaginée entre les arbres et la statue pour mesurer certaines distances afin de déterminer la hauteur des arbres sans avoir à grimper. Lisa se positionne à la base du premier arbre, et Max marche jusqu’à la statue en mesurant la distance parcourue. Ils utilisent un mètre ruban pour les mesures au sol et un miroir pour s’assurer de l’alignement visuel avec les sommets des arbres.
Données:
- La distance du premier arbre à la statue est de 40 mètres.
- La distance du second arbre à la statue est de 25 mètres.
- Max mesure 1,8 mètre de hauteur.
- La distance entre Lisa (au pied du premier arbre) et Max est de 15 mètres lorsque Max s’aligne visuellement avec le sommet du premier arbre et la statue.
- Lorsque Max s’aligne visuellement avec le sommet du second arbre et la statue, il se trouve à 10 mètres de Lisa.
Questions:
1. Utiliser le Théorème de Thalès pour déterminer la hauteur du premier arbre.
- Appliquer le Théorème de Thalès dans le triangle formé par les positions de Lisa, Max, et la statue, en utilisant la position de Max lorsqu’il est aligné avec le sommet du premier arbre.
2. Utiliser le Théorème de Thalès pour estimer la hauteur du second arbre.
- Répéter le processus avec les données relatives au second arbre.
3. Calculer la distance entre les deux arbres.
- Utiliser le Théorème de Pythagore en considérant le triangle formé par les deux arbres et la statue. Pour cela, considérez que les arbres et la statue forment un triangle rectangle où la statue et les points au pied des arbres sont les sommets du triangle.
Correction : Théorèmes de Thalès et de Pythagore
1. Hauteur du Premier Arbre
Démarche par le théorème de Thalès :
Pour mesurer la hauteur d’un objet à l’aide d’un miroir, on exploite le fait que les triangles formés par l’objet, le repère (ici la statue) et la ligne de visée sont semblables au triangle formé par l’observateur, sa taille et la distance entre lui et la statue.
- On note A le pied du premier arbre (où se tient Lisa).
- S est la position de la statue (repère fixe).
- M₁ est la position de Max lorsqu’il observe le sommet du premier arbre aligné avec la statue.
La distance AS (entre le pied du premier arbre et la statue) est de 40 m et la distance AM₁ (entre le pied de l’arbre et Max) est de 15 m. Puisque Max se place entre l’arbre et la statue, la distance M₁S entre Max et la statue est :
\[M_1S = AS – AM_1 = 40\,\text{m} – 15\,\text{m} = 25\,\text{m}.\]
Le théorème de Thalès donne la proportion suivante :
\[\frac{H_1}{AS} = \frac{\text{Taille de Max}}{M_1S}.\]
En substituant les valeurs, on a :
\[\frac{H_1}{40} = \frac{1,80}{25}.\]
Calcul de \( H_1 \) :
\[H_1 = \frac{40 \times 1,80}{25} = \frac{72}{25} = 2,88\,\text{m}.\]
La hauteur du premier arbre est 2,88 m.
2. : Hauteur du second arbre
Démarche par le théorème de Thalès :
On réalise une démarche analogue pour le second arbre.
- On note B le pied du second arbre.
- La distance BS entre le pied du second arbre et la statue est de 25 m (donnée).
- M₂ est la position de Max lorsqu’il observe le sommet du second arbre aligné avec la statue.
On suppose ici que Max se positionne entre le pied du second arbre et la statue. La distance BM₂ (entre le pied du second arbre et Max) est donnée comme 10 m. Ainsi, la distance M₂S entre Max et la statue est :
\[M_2S = BS – BM_2 = 25\,\text{m} – 10\,\text{m} = 15\,\text{m}.\]
Le théorème de Thalès appliqué à ce cas donne :
\[\frac{H_2}{BS} = \frac{1,80}{M_2S}.\]
En substituant les valeurs :
\[\frac{H_2}{25} = \frac{1,80}{15}.\]
Calcul de \( H_2 \) :
\[H_2 = \frac{25 \times 1,80}{15} = \frac{45}{15} = 3,00\,\text{m}.\]
La hauteur du second arbre est 3 m.
3. : Distance entre les deux arbres
Démarche par le théorème de Pythagore :
On considère que les points situés au pied des deux arbres ainsi que la statue forment un triangle rectangle.
Pour appliquer le théorème de Pythagore, on suppose que la statue se trouve au sommet de l’angle droit de ce triangle.
- La distance entre le pied du premier arbre et la statue est de 40 m.
- La distance entre le pied du second arbre et la statue est de 25 m.
Ces deux segments forment les côtés perpendiculaires du triangle. La distance \( d \) entre les deux arbres (le côté opposé à l’angle droit, c’est-à-dire l’hypoténuse) se calcule alors par :
\[d = \sqrt{40^2 + 25^2}.\]
Calcul :
\[d =40^2 = 1600 + 25^2 = 625\]
\[d = 1600 + 625 = 2225.\]
\[d = \sqrt{2225} \approx 47,17\,\text{m}.\]
La distance entre les deux arbres est d’environ 47,17 m.
Résumé des résultats :
- Hauteur du premier arbre :
\[H_1 = \frac{40 \times 1,80}{25} = 2,88\,\text{m}.\] - Hauteur du second arbre :
\[H_2 = \frac{25 \times 1,80}{15} = 3,00\,\text{m}.\] - Distance entre les deux arbres :
\[d = \sqrt{40^2 + 25^2} \approx 47,17\,\text{m}.\]
Théorèmes de Thalès et de Pythagore
0 commentaires