Analyse d’une figure composite
Comprendre l’Analyse d’une figure composite
La figure ci-dessous est composée de deux triangles isocèles \(ABC\) et \(ACD\) (où \(AC\) est la base commune) et d’un rectangle \(CDEF\). Le point \(A\) est situé au-dessus de \(C\) et \(D\) est à droite de \(C\). Les points \(E\) et \(F\) sont respectivement à droite de \(D\) et en dessous de \(C\), formant ainsi le rectangle \(CDEF\).
Données :
- \(AC = CD = 4\) cm,
- \(AB = BC = 5\) cm,
- \(DE = 6\) cm,
- \(EF = 4\) cm.
Questions :
1. Calcul de l’aire des triangles \(ABC\) et \(ACD\) :
- Utilisez la formule de l’aire d’un triangle \((\text{base} \times \text{hauteur}) / 2\) pour calculer l’aire de chaque triangle. Pour \(ABC\), utilisez \(AC\) comme base et pour \(ACD\), utilisez \(CD\) comme base. La hauteur de ces triangles est la même et peut être trouvée en appliquant le théorème de Pythagore dans l’un des triangles isocèles.
2. Calcul de l’aire du rectangle \(CDEF\) :
- L’aire d’un rectangle est donnée par \(\text{longueur} \times \text{largeur}\). Utilisez les dimensions données pour calculer l’aire de \(CDEF\).
3. Calcul du périmètre de la figure composite :
- Le périmètre est la somme de toutes les longueurs des côtés extérieurs de la figure. Pour cela, n’oubliez pas que les côtés \(AC\) et \(CD\) sont partagés entre les triangles et le rectangle, donc ils ne sont comptés qu’une seule fois.
4. Démonstration que le triangle \(ABC\) est isocèle :
- Utilisez les propriétés des triangles isocèles pour justifier pourquoi \(ABC\) est isocèle en se basant sur les longueurs des côtés données.
5. Discussion sur la relation entre les triangles \(ABC\) et \(ACD\) :
Réfléchissez à la manière dont ces deux triangles sont liés entre eux et avec le rectangle \(CDEF\), notamment en termes de symétrie et de proportions.
Correction : Analyse d’une figure composite
1. Calcul de l’aire des triangles \(ABC\) et \(ACD\)
a) Triangle ABC
Données :
- Base : \( AC = 4\,\text{cm} \)
- Côtés égaux : \( AB = BC = 5\,\text{cm} \).
Calcul de la hauteur \( h \) :
Dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet (ici, \( B \)) perpendiculaire à la base coupe la base en deux segments égaux.
Ainsi, la demi-base vaut :
\[\frac{AC}{2} = \frac{4}{2} = 2\,\text{cm}.\]
D’après le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle formé (avec \( h \) comme hauteur, \( 2\,\text{cm} \) comme demi-base et \( 5\,\text{cm} \) comme hypoténuse), on a :
\[h^2 + 2^2 = 5^2 \quad \Longrightarrow \quad h^2 + 4 = 25.\]
D’où :
\[h^2 = 25 – 4 = 21 \quad \Longrightarrow \quad h = \sqrt{21}\,\text{cm}.\]
Calcul de l’aire :
La formule de l’aire d’un triangle est :
\[\text{Aire} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}.\]
Ainsi, pour le triangle \( ABC \) :
\[\text{Aire}_{ABC} = \frac{4 \times \sqrt{21}}{2} = 2\sqrt{21}\,\text{cm}^2.\]
b) Triangle ACD
Données :
- Base : \( CD = 4\,\text{cm} \).
- On utilise la même hauteur \( h = \sqrt{21}\,\text{cm} \) que pour le triangle\( ABC \).
Calcul de l’aire :
\[\text{Aire}_{ACD} = \frac{CD \times h}{2} = \frac{4 \times \sqrt{21}}{2} = 2\sqrt{21}\,\text{cm}^2.\]
2. Calcul de l’aire du rectangle CDEF
Données :
- Longueur : \( DE = 6\,\text{cm} \).
- Largeur : \( EF = 4\,\text{cm} \).
Calcul :
L’aire d’un rectangle se calcule par :
\[\text{Aire} = \text{longueur} \times \text{largeur}.\]
Ainsi,
\[\text{Aire}_{CDEF} = 6 \times 4 = 24\,\text{cm}^2.\]
3. Calcul du périmètre de la figure composite
Reconstitution de la figure et identification du contour extérieur
Le calcul du périmètre consiste à sommer la longueur des segments qui constituent le contour extérieur de la figure. Pour ce faire, il convient d’exclure les côtés « partagés » entre les différentes parties (les segments internes).
- Triangle ABC
Les segments AB et BC font partie du contour extérieur. Le segment AC est commun à ABC et ACD et se trouve à l’intérieur de la figure, il n’est donc pas compté.
- Triangle ACD
Le segment AD (la seconde branche du triangle) figure sur le contour extérieur. Le segment CD est partagé avec le rectangle CDEF et n’est donc pas compté.
- Rectangle CDEF
Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux. On connaît DE = 6cm et EF = 4cm. Par conséquent, le côté opposé à DE (que nous noterons FC vaut 6cm et celui opposé à EF (qui est CD vaut 4cm. Puisque CD est déjà partagé avec le triangle ACD, les côtés du rectangle qui contribuent au contour extérieur sont : \( FE = EF = 4\,\text{cm} \) et \( FC = 6\,\text{cm} \).
Somme des segments du contour extérieur
Les segments retenus pour le périmètre global sont donc :
AB = 5cm (du triangle \( ABC \)
BC = 5cm (du triangle \( ABC \)
FC = 6cm (du rectangle),
FE = 4cm (du rectangle),
ED = 6cm (du rectangle),
AD = 5cm (du triangle ACD, en supposant par symétrie avec ABC que la longueur de ce côté est égale à celle de AB et BC.
En additionnant ces longueurs, on obtient :
\[\text{Périmètre} = 5 + 5 + 6 + 4 + 6 + 5 = 31\,\text{cm}.\]
Remarque :
La détermination exacte du périmètre dépend du tracé précis du contour de la figure composite. Ici, nous avons exclu les segments internes (le segment commun \( AC \) et le côté \( CD \) partagé entre le triangle \( ACD \) et le rectangle) pour ne retenir que le périmètre extérieur.
4. Démonstration que le triangle ABC est isocèle
Pour démontrer qu’un triangle est isocèle, il suffit de montrer que deux de ses côtés sont de même longueur.
Dans le triangle ABC, on a :
\[AB = 5\,\text{cm} \quad \text{et} \quad BC = 5\,\text{cm}.\]
Puisque (AB = BC), le triangle ABC est isocèle par définition.
5. Discussion sur la relation entre les triangles ABC et ACD et le rectangle CDEF
Symétrie et partage de dimensions :
Les deux triangles se caractérisent par une base de \( 4\,\text{cm} \) et, en appliquant le théorème de Pythagore, par une hauteur commune \( h = \sqrt{21}\,\text{cm} \).
Ainsi, ils possèdent une aire identique :
\[\text{Aire}_{ABC} = \text{Aire}_{ACD} = 2\sqrt{21}\,\text{cm}^2.\]
Intégration avec le rectangle :
Le rectangle CDEF est attaché au triangle ACD le long du côté CD (de \( 4\,\text{cm} \)). Il apporte une aire de \( 24\,\text{cm}^2 \) et participe à la formation d’une figure composite harmonieuse. Les proportions des différentes parties (triangles et rectangle) montrent comment des formes géométriques simples peuvent être combinées pour obtenir une structure globale cohérente.
Implications pédagogiques et pratiques :
La démarche permet d’illustrer l’utilisation du théorème de Pythagore pour déterminer des hauteurs. La formule d’aire permet de réaliser des figures de base et d’identifier précisément les segments extérieurs lors du calcul de périmètres.
Résumé des résultats:
- Aire du triangle \( ABC \) : \( 2\sqrt{21}\,\text{cm}^2 \) (soit environ \( 9,17\,\text{cm}^2 \).
- Aire du triangle \( ACD \) : \( 2\sqrt{21}\,\text{cm}^2 \).
- Aire du rectangle \( CDEF \) : \( 24\,\text{cm}^2 \).
- Périmètre de la figure composite : \( 31\,\text{cm} \).
- Triangle \( ABC \) isocèle : Car \( AB = BC = 5\,\text{cm} \).
- Relation entre les éléments :
Les triangles présentent des aires identiques et, associés au rectangle, illustrent une symétrie et une intégration harmonieuse des formes géométriques.
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