Développement et Factorisation

Développement et Factorisation

Comprendre le Développement et Factorisation

On vous propose de réaliser des opérations de développement et de factorisation sur les expressions suivantes.

Questions : 

Partie A : Développement

1. Développe l’expression suivante en utilisant les identités remarquables ou la distributivité lorsque nécessaire :

\[ A = (3x – 2)(3x + 2) \]

2. Développe et réduis l’expression suivante :

\[ B = 2(x – 4) + 3(2x + 1) \]

Partie B : Factorisation

1. Factorise l’expression suivante en identifiant un facteur commun :

\[ C = 4x^2 – 8x \]

2. Utilise une identité remarquable pour factoriser l’expression suivante :

\[ D = x^2 – 16 \]

Correction : Développement et Factorisation

Partie A : Développement

1. Développe

\[A = (3x – 2)(3x + 2)\]

Méthode : Utilisation de l’identité remarquable

\[a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\]
Ici on a , \( a = 3x \) et \( b = 2 \).
En appliquant l’identité remarquable, on obtient :
\[A = (3x)^2 – (2)^2\]

\[A = = 9x^2 – 4\]

Réponse : \[ A = 9x^2 – 4 \]

2. Développer et réduire

\[ B = 2(x – 4) + 3(2x + 1) \]

Appliquer la distributivité \( a(b+c) = ab+ac \) pour développer chaque terme, puis combiner les termes semblables.

Développons d’abord \[ B = 2(x – 4) = 2x – 8\]
Puis \[ B = 3(2x + 1) = 6x + 3\]

En combinant :
\[B = (2x – 8) + (6x + 3)\]

\[B = 2x + 6x – 8 + 3\]

\[B = 8x – 5\]

Réponse : \[ B = 8x – 5 \]

Partie B : Factorisation

1. Factoriser

\[ C = 4x^2 – 8x \]

Méthode : Identifier le facteur commun.

• Dans \(4x^2\), on peut écrire \(4x^2 = 4x \times x\).
• Dans \(-8x\), on peut écrire \(-8x = 4x \times (-2)\).

On constate ainsi que les deux termes ont en commun le facteur \(4x\).

En mettant \(4x\) en facteur, l’expression devient :
\[C = 4x^2 – 8x\]

\[C = = 4x(x – 2).\]

La factorisation de \(C\) est donc :
\[C = 4x(x – 2).\]

2. Factoriser

\[ D = x^2 – 16 \]

• Identifier la structure de la différence de carrés :
  L’expression \(x^2 – 16\) peut être réécrite sous la forme \(x^2 – 4^2\) car \(16\) est le carré de \(4\).
  Ainsi, on a une différence de carrés :
  \[x^2 – 16 = x^2 – (4)^2.\]
• Rappeler et appliquer l’identité remarquable :
  On se souvient de l’identité remarquable suivante :
  \[a^2 – b^2 = (a – b)(a + b).\]
  Dans notre cas, \(a = x\) et \(b = 4\).
  En appliquant cette identité, on obtient :
  \[x^2 – 16 = (x – 4)(x + 4).\]

La factorisation de \(D\) est donc :
\[D = (x – 4)(x + 4).\]

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