Utilisation des identités remarquables

Utilisation des identités remarquables

Comprendre l’Utilisation des identités remarquables

On vous propose de développer et simplifier trois expressions algébriques en appliquant systématiquement les identités remarquables. L’objectif est de maîtriser le développement d’expressions et de mettre en évidence l’utilisation stratégique des identités suivantes.

On considère les expressions suivantes :

\[ A = (3x – 2)^2 \]
\[ B = (4 – y)(4 + y) \]
\[ C = 2(5x + 1)^2 – \frac{1}{2}(10x – 2)^2 \]

Questions :

1. Développez et simplifiez l’expression \(A\) en utilisant l’identité remarquable adaptée.

2. Développez et simplifiez l’expression \(B\) en utilisant l’identité remarquable adaptée.

3. Développez et simplifiez l’expression \(C\) en utilisant les identités remarquables et les propriétés des opérations sur les expressions algébriques. Remarquez comment les termes se simplifient.

Rappel des identités remarquables:

• Carré d’une somme : \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• Carré d’une différence : \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
• Produit de la somme par la différence : \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\)

Correction : Utilisation des identités remarquables

1. Expression \(A = (3x – 2)^2\)

On considère :

\[A = (3x – 2)^2.\]

On utilise l’identité remarquable du carré d’une différence :
\[(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2,\] avec \(\; a = 3x \) et \(\; b = 2 \).

• Calcul du carré de \(\; 3x \) :

\[(3x)^2 = 9x^2.\]

Pour cela, on commence par le calcul du terme du milieu :
\[-2ab = -2 \times (3x) \times 2 = -12x.\]

Puis on calcule le carré de \(\; 2 \) :
\[2^2 = 4.\]

En substituant, on obtient :

\[A = 9x^2 – 12x + 4.\]

Résultat : \[A = 9x^2 – 12x + 4.\]

Expression \(B = (4-y)(4+y).\)

On considère :
\[B = (4-y)(4+y).\]

Ici, on utilise l’identité remarquable du produit d’une somme et d’une différence :
\[(a+b)(a-b) = a^2 – b^2,\] avec \(\; a = 4 \) et \(\; b = y \).

En appliquant l’identité :
\[B = 4^2 – y^2\]

\[B =16 – y^2.\]

Expression \(C = 2(5x+1)^2 – 12(10x-2)^2.\)

On considère :
\[C = 2(5x+1)^2 – 12(10x-2)^2.\]

Étape 1 : Développer \((5x+1)^2\)

Utilisons l’identité du carré d’une somme :
\[(5x+1)^2 = (5x)^2 + 2\cdot(5x)\cdot1 + 1^2.\]

Calculons chaque terme :

• \((5x)^2 = 25x^2\),
• \(2 \cdot 5x \cdot 1 = 10x\),
• \(1^2 = 1\).

Ainsi,
\[(5x+1)^2 = 25x^2 + 10x + 1.\]

Étape 2 : Développer \((10x-2)^2\)

Ici, on utilise l’identité du carré d’une différence :
\[(10x-2)^2 = (10x)^2 – 2\cdot(10x)\cdot2 + 2^2.\]

Calculons chaque terme :

• \((10x)^2 = 100x^2\),
• \(2 \cdot 10x \cdot 2 = 40x\),
• \(2^2 = 4\).

Ainsi,
\[(10x-2)^2 = 100x^2 – 40x + 4.\]

Étape 3 : Substituer ces développements dans \(C\)

On a :
\[C = 2(25x^2+10x+1) – 12(100x^2-40x+4).\]

Développons chaque terme :

• Pour le premier terme :
  \[2(25x^2+10x+1) = 50x^2 + 20x + 2.\]
• Pour le second terme :
  \[12(100x^2-40x+4) = 1200x^2 – 480x + 48.\]

Ainsi,
\[C = (50x^2+20x+2) – (1200x^2-480x+48).\]

Étape 4 : Regrouper et simplifier les termes semblables

•  Terme en \(x^2\) :
  \[50x^2 – 1200x^2 = -1150x^2.\]
• Terme en \(x\) :
  \[20x – (-480x) = 20x + 480x = 500x.\]
• Terme constant :
  \[2 – 48 = -46.\]

On obtient donc :
\[C = -1150x^2 + 500x – 46.\]

Résumé des résultats

• \(A = (3x-2)^2 = 9x^2 – 12x + 4.\)
• \(B = (4-y)(4+y) = 16 – y^2.\)
• \(C = 2(5x+1)^2 – 12(10x-2)^2 = -1150x^2 + 500x – 46.\)

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