Calcul de distance et d’angle dans un triangle
Comprendre le Calcul de distance et d’angle dans un triangle
Dans le plan muni d’un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\), considérons les points \(A(2,3)\), \(B(8,7)\) et \(C(2,7)\).
Questions :
1. Calculez la longueur des segments \([AB]\), \([BC]\) et \([AC]\).
2. Déterminez les mesures des angles \(\angle ABC\) et \(\angle BAC\) à l’aide des résultats obtenus à la question précédente.
3. Vérifiez si le triangle \(ABC\) est un triangle rectangle.
Correction : Calcul de distance et d’angle dans un triangle
1. Calcul des longueurs des segments
a) Calcul de la longueur du segment \(AB\)
Identifions d’abord les coordonnées de \(A\) et \(B\) : \(A\) a pour coordonnées \(2,3\) et \(B\) \(8,7\).
Calculons ensuite la différence des abscisses et des ordonnées :
- Différence en abscisses : \(8 – 2 = 6\)
- Différence en ordonnées : \(7 – 3 = 4\)
La longueur [AB] se calcule par la formule de la distance : \[= \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\]
Ici, cela donne :
\[AB = \sqrt{6^2 + 4^2}\]
\[AB= \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\]
On peut également écrire \(\sqrt{52}\) = \(2\sqrt{13}\).
Résultat : La longueur du segment \(AB\) est \(2\sqrt{13}\).
b) Calcul de la longueur du segment \(BC\)
Identifions d’abord les coordonnées de \(B\) et \(C\) : \(B\) a pour coordonnées \(8,7\) et \(C\) \(2,7\).
Calculons ensuite la différence des abscisses et des ordonnées :
- Différence en abscisses : \(2 – 8 = -6\)
- Différence en ordonnées : \(7 – 7 = 0\)
Appliquons la formule de la distance :
\[BC = \sqrt{(-6)^2 + 0^2}\]
\[BC = \sqrt{36 + 0}\]
\[BC = \sqrt{36}\]
On peut également écrire\[BC \sqrt{36} = 6\]
Résultat : La longueur du segment \(BC\) est \(6\).
c) Calcul de la longueur du segment \(AC\)
Identifions d’abord les coordonnées de \(A\) et \(C\) : \(A\) a pour \(2,3\) et \(C\) \(2,7\).
Calculons ensuite la différence des abscisses et des ordonnées :
- Différence en abscisses : \(2 – 2 = 0\)
- Différence en ordonnées : \(7 – 3 = 4\)
Appliquons la formule de la distance :
\[AC = \sqrt{0^2 + 4^2}\]
\[AC = \sqrt{0 + 16}\]
\[AC = \sqrt{16}\]
On peut également écrire \(\sqrt{16} = 4\)
Résultat : La longueur du segment \(AC\) est \(4\).
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2. Détermination des mesures des angles
a) Calcul de l’angle \(\angle ABC\) (angle au sommet \(B\)) :
Pour déterminer les angles du triangle, nous utilisons la méthode du produit scalaire et la formule du cosinus.
- Définissons d’abord les vecteurs à partir du point \(B\) :
Vecteur BA : A – B = 2 – 8, 3 – 7 = -6,-4
Vecteur BC : C – B = 2 – 8, 7 – 7 = -6,0
- Calculons ensuite le produit scalaire de \(\vec{BA}\) et \(\vec{BC}\) :
\[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-6)(-6) + (-4)(0)\]
\[\vec{BA} \cdot \vec{BC} = 36 + 0 = 36\]
La norme de \(\vec{BA}\) est la longueur de \(AB\), soit \(2\sqrt{13}\).
Les normes des vecteurs sont :
BA = longueur de AB = 2√13
BC = longueur de BC = 6
- Appliquons la formule du cosinus :
\[\cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{\vec{BA} \cdot \vec{BC}} \]
En substituant :
\[\cos(\angle ABC) = \frac{36}{2\sqrt{13} \times 6}\]
\[\cos(\angle ABC) = \frac{36}{12\sqrt{13}}\]
\[\cos(\angle ABC) = \frac{3}{\sqrt{13}} \]
- Trouver l’angle en appliquant l’arc cosinus : en valeur approchée, on calcule : \[\sqrt{13} \approx 3,606 \quad \text{donc} \quad \frac{3}{3,606} \approx 0,832.\]
Ainsi,
\[\angle ABC \approx \arccos(0,832) \approx 33,3^\circ.\]
Résultat : L’angle \(\angle ABC\) est d’environ \(33,3^\circ\).
b) Calcul de l’angle \(\angle BAC\) (angle au sommet \(A\)) :
- Définissons les vecteurs à partir du point \(A\) :
Vecteur AB : = B – A = 8 – 2, 7 – 3 = 6, 4
Vecteur AC : = C – A = (2 – 2, 7 – 3 = 0,4
- Calculons ensuite le produit scalaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\)
\[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (6)(0) + (4)(4) = 0 + 16 = 16\]
Les normes des vecteurs sont :
AB = 2√13
AC = 4
- Appliquons la formule du cosinus :
\[\cos(\angle BAC) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{\vec{AB} \cdot \vec{AC}} = \frac{16}{2\sqrt{13} \times 4} = \frac{16}{8\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}\]
En valeur approchée, \(\sqrt{13} \approx 3,606\), donc :
\[\frac{2}{3,606} \approx 0,5547.\]
Ainsi,
\[\angle BAC \approx \arccos(0,5547) \approx 56,3^\circ.\]
Résultat : L’angle \(\angle BAC\) est d’environ \(56,3^\circ\).
3. Vérification si le triangle \(ABC\) est rectangle
Pour vérifier si le triangle est rectangle, nous utilisons le théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.
- Calculer les carrés des longueurs des côtés :
Pour \(AC\) : \(AC = 4\) donc \(AC^2 = 4^2 = 16\).
Pour \(BC\) : \(BC = 6\) donc \(BC^2 = 6^2 = 36\).
Pour \(AB\) : \(AB = 2\sqrt{13}\) donc \(AB^2 = (2\sqrt{13})^2 = 4 \times 13 = 52\). - Vérifier la relation de Pythagore en calculant la somme des carrés de AC et BC : \(AC^2 + BC^2\) :
\[AC^2 + BC^2 = 16 + 36 = 52.\]
Nous constatons que \(AB^2 = 52\) et \(AC^2 + BC^2 = 52\), donc la relation de Pythagore est vérifiée.
On observe également que :
- Le segment AC est vertical (même abscisse) et le segment BC est horizontal (même ordonnée).
- Un segment vertical est perpendiculaire à un segment horizontal, ce qui confirme que l’angle en \(C\) est droit.
- Résultat : Le triangle \(ABC\) est rectangle, avec l’angle droit en \(C\).
Conclusion finale
-
Longueurs des segments :
\[AB = 2\sqrt{13}\], \[BC = 6\], \[AC = 4\].
- Mesures des angles (approximatives) :
\[\angle ABC \approx 33,3^\circ\] et \[\angle BAC \approx 56,3^\circ\].
- Triangle rectangle :
Le triangle \(ABC\) est rectangle, car la relation \(AB^2 = AC^2 + BC^2\) est vérifiée (52 = 16 + 36) Les segments \(AC\) et \(BC\) sont perpendiculaires.
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