Planification de dépenses suite arithmétique
Comprendre la Planification de dépenses suite arithmétique
Marie gère un budget pour un projet sur 12 mois. Elle prévoit d’allouer une somme d’argent chaque mois pour ce projet, de manière à augmenter le montant alloué chaque mois de 200€ par rapport au mois précédent. Au premier mois, elle compte allouer 500€.
Questions:
1. Terme Général de la Suite:
- Exprimez le montant \(M_n\) alloué au n-ième mois sous forme d’une suite arithmétique. Identifiez le premier terme \(a\) et la raison \(r\).
2. Calcul du 12ème Terme:
- Calculez le montant que Marie allouera au 12ème mois.
3. Somme des Dépenses:
- Calculez la somme totale \(S\) que Marie aura dépensée à la fin des 12 mois.
4. Représentation Graphique:
- Proposez une représentation graphique de la suite \(M_n\) pour les 12 premiers mois.
5. Réflexion sur le Budget:
- Si Marie a un budget total de 10 000€ pour l’année, déterminera-t-elle que son plan est réalisable? Justifiez votre réponse en calculant si la somme totale des dépenses dépasse ou non ce budget.
Correction : Planification de dépenses suite arithmétique
1. Terme Général de la Suite
Définition:
La suite définie par le montant \(M_n\) alloué au n-ième mois est une suite arithmétique où le premier terme \(a\) est le montant initial alloué, soit 500 €. La raison \(r\) est l’augmentation mensuelle, c’est-à-dire 200 €.
- Le premier terme est noté \(a\): Marie alloue 500€ au premier mois, donc \[a = 500\].
- Raison, notée \(r\): L’augmentation mensuelle est de 200€, donc \[r = 200\].
Formule du terme général d’une suite arithmétique:
\[M_n = a + (n-1) \times r.\]
En substituant \(a = 500\) et \(r = 200\), on obtient :
\[M_n = 500 + (n-1) \times 200.\]
2. Calcul du 12ème Terme
Étape 1 : Utiliser la formule du terme général
Pour \(n = 12\), on a :
\[M_{12} = 500 + (12-1) \times 200.\]
Étape 2 : Effectuer le calcul
Calculons d’abord \[12 – 1 = 11\].
Puis multiplions \[11 \times 200 = 2200\].
Enfin, on ajoute 500 : \[500 + 2200 = 2700\].
Résultat : Marie allouera 2700€ au 12ème mois.
3. Somme des Dépenses sur 12 Mois
Etape 1 : Appliquer la formule de la somme d’une suite arithmétique
Pour calculer la somme des dépenses sur 12 mois, on utilise la formule de la somme d’une suite arithmétique :
\[S = \frac{n}{2} \times (a + M_n)\]
où \(n\) est le nombre de termes, \(a\) le premier terme et \(M_n\) le dernier terme.
Ici, on a :
Nombre de mois : \(n = 12\).
Premier terme : \(a = 500\).
Dernier terme (déjà calculé) : \(M_{12} = 2700\).
Étape 2 : Calculer la somme
\[S = \frac{12}{2} \times (500 + 2700) = 6 \times 3200 = 19200.\]
Résultat : La somme totale dépensée sur 12 mois est 19200€.
4. Représentation Graphique
La suite peut être représentée graphiquement par une série de points alignés qui forment une ligne droite ascendante. L’axe horizontal (axe des abscisses) représente les mois (de 1 à 12), tandis que l’axe vertical (axe des ordonnées) représente le montant alloué chaque mois. Chaque point sur le graphique correspond au montant alloué pour un mois donné, commençant à 500 € et augmentant de 200 € chaque mois.
5. Réflexion sur le Budget
Donnée :
Le budget total de Marie pour l’année est de 10 000€.
Étape 1 : Comparer la somme totale des dépenses avec le budget
La somme totale des dépenses sur 12 mois est de 19200€.
Étape 2 : Analyser
19200€ dépasse largement le budget de 10 000€.
Conclusion :
Le plan de Marie n’est pas réalisable, car la somme totale allouée 19200€ dépasse son budget annuel de 10 000€.
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