Analyse des Positions Relatives de Droites
Comprendre l’Analyse des Positions Relatives de Droites
Dans une nouvelle zone urbaine en développement, un planificateur de ville doit concevoir une intersection routière qui implique la construction de deux nouvelles routes. Ces routes doivent être planifiées par rapport à une route existante, et il est essentiel de déterminer leurs positions relatives pour éviter les erreurs de construction et optimiser l’espace.
Données fournies :
- La route existante est représentée par la droite \(d_1\) dans le plan cartésien, et son équation est \(y = -\frac{3}{4}x + 2\).
- La première nouvelle route, \(d_2\), est planifiée pour être parallèle à \(d_1\) et doit passer par le point \(A(4, 3)\).
- La seconde nouvelle route, \(d_3\), doit être perpendiculaire à \(d_1\) et doit passer par le point \(B(2, -1)\).
Questions :
1. Trouver l’équation de \(d_2\) : Comme \(d_2\) est parallèle à \(d_1\), déterminez son équation en utilisant le point par lequel elle passe.
2. Trouver l’équation de \(d_3\) : Sachant que \(d_3\) est perpendiculaire à \(d_1\), trouvez son équation en utilisant le point par lequel elle passe.
3. Déterminer si \(d_2\) et \(d_3\) se croisent : Si oui, calculer le point d’intersection.
4. Interprétation : Discutez de l’importance des positions relatives de ces routes dans le contexte de la planification urbaine.
Correction : Analyse des Positions Relatives de Droites
1. Trouver l’équation de \(d_2\)
a) Identifier la pente de \(d_1\) :
L’équation de \(d_1\) est donnée par
\[y = -34x + 2.\]
La pente de \(d_1\) est donc
\[m_{d_1} = -34.\]
b) Parallélisme avec \(d_1\) :
Puisque \(d_2\) est parallèle à \(d_1\), elle aura la même pente :
\[m_{d_2} = -34.\]
c) Utilisation du point \(A(4,3)\) pour trouver l’équation de \(d_2\) :
La forme point-pente de l’équation d’une droite est :
\[y – y_A = m_{d_2}(x – x_A).\]
En remplaçant \(m_{d_2} = -34\) et \(A(4,3)\), on obtient :
\[y – 3 = -34(x – 4).\]
Développons et simplifions :
\[y – 3 = -34x + 136,\]
\[y = -34x + 136 + 3,\]
\[y = -34x + 139.\]
Ceci est l’équation de la route \(d_2\).
2. Détermination de l’équation de \(d_3\)
a) Calcul de la pente de \(d_3\) (droite perpendiculaire à \(d_1\)) :
Pour deux droites perpendiculaires, le produit de leurs pentes est \(-1\).
La pente de \(d_1\) est \(m_{d_1} = -34\).
Soit \(m_{d_3}\) la pente de \(d_3\) ; alors :
\[m_{d_1} \times m_{d_3} = -1 \quad \Longrightarrow \quad -34 \times m_{d_3} = -1.\]
D’où :
\[m_{d_3} = \frac{-1}{-34} = \frac{1}{34}.\]
b) Utilisation du point \(B(2,-1)\) pour trouver l’équation de \(d_3\) :
En appliquant la forme point-pente avec \(B(2,-1)\) :
\[y – (-1) = \frac{1}{34}(x – 2),\]
Ce qui se simplifie en :
\[y + 1 = \frac{1}{34}(x – 2).\]
Pour exprimer \(y\) en fonction de \(x\), on écrit :
\[y = \frac{x – 2}{34} – 1\]
Il est possible de laisser l’équation sous cette forme ou de la réécrire de manière équivalente :
\[y = \frac{x – 36}{34}.\]
3. Détermination du point d’intersection de \(d_2\) et \(d_3\)
Pour trouver l’intersection, nous égalons les expressions de \(y\) issues des équations de \(d_2\) et \(d_3\).
- Équation de \(d_2\) :
\[y = -34x + 139.\] - Équation de \(d_3\) :
\[y = \frac{x – 36}{34}.\]
On a donc :
\[-34x + 139 = \frac{x – 36}{34}.\]
a) Multiplier par 34 pour éliminer la fraction :
\[34(-34x + 139) = x – 36.\]
Puis calculons :
\[-1156x + 4726 = x – 36.\]
b) Regrouper les termes en \(x\) :}
\[-1156x – x = -36 – 4726,\]
\[-1157x = -4762.\]
c) Résolution pour \(x\) :
\[x = \frac{-4762}{-1157} = \frac{4762}{1157}.\]
On effectue la division :
\[x \approx 4,1157.\]
d) Calcul de \(y\) :
On substitue les valeurs dans l’une des équations (ici dans celle de \(d_3\)) :
\[y = \frac{x – 36}{34} = \frac{\frac{4762}{1157} – 36}{34}.\]
- Pour simplifier, exprimons \(36\) sous la forme \(\frac{36 \times 1157}{1157} = \frac{41652}{1157}\) :
\[y = \frac{\frac{4762 – 41652}{1157}}{34} = \frac{-36890}{1157 \times 34}.\] - Sachant que \(1157 \times 34 = 39338\), nous obtenons :
\[y = \frac{-36890}{39338}.\] - Après simplification (en divisant numérateur et dénominateur par 2) :
\[y = -\frac{18445}{19669} - \quad \text {ou environ} \quad y \approx -0,9378.\]
On peut donc écrire le point d’intersection sous forme exacte :
\[I\left(\frac{4762}{1157}, -\frac{1085}{1157}\right)\]
(puisque \( -\frac{1085}{1157} \) est équivalent à \( -\frac{36890}{39338} \))
ou sous forme approchée :
\[I(4,1157;\ -0,9378).\]
4. Interprétation dans le contexte de la planification urbaine
La détermination des équations de \(d_2\) et \(d_3\) permet au planificateur de :
- \(d_2\) : disposer d’une route parallèle à la voie existante \(d_1\). Cette configuration est souvent utilisée pour créer des artères de desserte qui suivent le même alignement qu’une route principale.
- \(d_3\) : obtenir une route perpendiculaire à \(d_1\) pour faciliter les croisements et permettre des rotations de circulation contrôlées.
Le calcul du point d’intersection de \(d_2\) et \(d_3\) est crucial pour localiser exactement où ces deux nouvelles routes se rencontrent, ce qui aidera à la conception d’une intersection sécurisée et efficace. En optimisant la position relative des routes, le planificateur minimise les risques de confusion, améliore la fluidité du trafic et s’assure que l’espace urbain est utilisé de manière optimale.
Résumé des résultats
- Équation de \(d_2\) :
\[y = -34x + 139.\] - Équation de \(d_3\) :
\[y = \frac{x – 36}{34}.\] - Point d’intersection de \(d_2\) et \(d_3\) :
\[I\left(\frac{4762}{1157}, -\frac{1085}{1157}\right) \quad \text {ou environ} \quad (4,1157;\ -0,9378).\] - nterprétation :
La configuration choisie assure que la nouvelle route \(d_2\) reste en alignement avec la route existante \(d_1\) tandis que \(d_3\) la croise perpendiculairement, garantissant ainsi un carrefour bien défini. Ce croisement contrôlé permet d’organiser le trafic, d’éviter les interférences entre les flux routiers et d’optimiser l’utilisation de l’espace dans la nouvelle zone urbaine.
Analyse des Positions Relatives de Droites
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