Étude de la Convergence de Deux Suites
Comprendre l’Étude de la Convergence de Deux Suites
On vous propose d’étudier la convergence de deux suites distinctes, l’une définie explicitement et l’autre par récurrence. L’objectif est de comprendre et d’appliquer différentes méthodes de démonstration comme la vérification de la bonne définition d’une suite, le calcul de ses premiers termes et l’étude de sa convergence. Vous devez également analyser la monotonie et la majoration d’une suite définie par récurrence.
Questions :
Partie A: Suite Définie Explicitement
Soit la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par :
\[ u_n = \frac{3n^2 – 2n + 1}{2n^2 + 3n + 5} \]
1. Démontrez que la suite \((u_n)\) est bien définie pour tout entier naturel \(n\).
2. Calculez les trois premiers termes de la suite \((u_n)\).
3. Démontrez que la suite \((u_n)\) est convergente.
4. Déterminez la limite de la suite \((u_n)\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Partie B: Suite Définie par Récurrence
Considérons maintenant la suite \((v_n)\) définie par la relation de récurrence suivante :
\[ \begin{cases}
v_0 = 1 \\
v_{n+1} = \frac{1}{2} v_n + 1, \quad \forall n \in \mathbb{N}
\end{cases} \]
1. Démontrez que la suite \((v_n)\) est croissante.
2. Démontrez que la suite \((v_n)\) est majorée.
3. Démontrez que la suite \((v_n)\) est convergente.
4. Déterminez la limite de la suite \((v_n)\) lorsque \(n\) tend vers l’infini.
Correction : Étude de la Convergence de Deux Suites
Partie A: Suite Définie Explicitement
Soit la suite \( u_n \) définie pour tout entier naturel \( n \) par :
\[u_n=\frac{3n^2-2n+1}{2n^2+3n+5}.\]
1. Définition de la suite \((u_n)\):
Pour tout entier naturel \( n \), le dénominateur \( 2n^2+3n+5 \) est un polynôme à coefficients réels.
Pour \( n \geq 0 \), on a \( 2n^2\geq 0 \), \( 3n\geq 0 \) et la constante 5 est strictement positive.
Ainsi, \( 2n^2+3n+5\geq 5>0 \) pour tout \( n\in\mathbb{N} \).
Conclusion : La suite \( (u_n) \) est bien définie pour tout \( n\in\mathbb{N} \).
2. Calcul des trois premiers termes
- Pour \( n=0 \) :
\[u_0=\frac{3\cdot0^2-2\cdot0+1}{2\cdot0^2+3\cdot0+5}=\frac{1}{5}.\] - Pour \( n=1 \) :
\[u_1=\frac{3\cdot1^2-2\cdot1+1}{2\cdot1^2+3\cdot1+5}\]
\[u_1 =\frac{3-2+1}{2+3+5}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.\]
- Pour \( n=2 \) :
\[u_2=\frac{3\cdot2^2-2\cdot2+1}{2\cdot2^2+3\cdot2+5}\]
\[u_2 =\frac{12-4+1}{8+6+5}\]
\[u_2 =\frac{9}{19}.\]
Résultats : \[ u_0=\frac{1}{5} \],
\[ u_1=\frac{1}{5} \]
\[ u_2=\frac{9}{19} \].
3. Convergence de la suite \( (u_n) \)
Pour étudier la convergence, on remarque que \( u_n \) est le quotient de deux polynômes de degré 2.
On divise le numérateur et le dénominateur par \( n^2 \) (pour \( n\neq 0 \)) :
\[u_n=\frac{3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}.\]
Lorsque \( n \) tend vers l’infini, les termes \( \frac{2}{n} \), \( \frac{1}{n^2} \), \( \frac{3}{n} \) et \( \frac{5}{n^2} \) tendent vers 0.
Conclusion : La suite \( (u_n) \) est convergente.
4. Limite de la suite \( (u_n) \)
D’après le calcul précédent, on a :
\[\lim_{n\to+\infty} u_n=\frac{3}{2}.\]
Partie B : Suite Définie par Récurrence
Considérons la suite \( (v_n) \) définie par :
\[\begin{cases}
v_0=1, \\
v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n+1, \quad \forall n\in\mathbb{N}.
\end{cases}\]
1. Monotonie (Suite croissante) :
- On calcule la différence :
\[v_{n+1}-v_n=\Bigl(\frac{1}{2}v_n+1\Bigr)-v_n=1-\frac{1}{2}v_n.\]
Pour montrer que \( (v_n) \) est croissante, il suffit de prouver que \( v_{n+1}-v_n\geq 0 \), c’est-à-dire :
\[1-\frac{1}{2}v_n\geq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad v_n\leq 2.\]
Nous verrons au point suivant que la suite est majorée par 2.
- Par ailleurs, on a \( v_0=1\leq 2 \).
Supposons \( v_n\leq2 \), alors :
\[v_{n+1}=\frac{1}{2}v_n+1\leq\frac{1}{2}\cdot2+1=1+1=2.\]
Par récurrence, \( v_n\leq2 \) pour tout \( n \). Ainsi, pour tout \( n \) :
\[v_{n+1}-v_n=1-\frac{1}{2}v_n\geq1-\frac{1}{2}\cdot2=0.\]
Conclusion : La suite \( (v_n) \) est croissante.
2. Majoration de la suite \( (v_n) \)
Nous avons montré que \( v_0=1 \) et que si \( v_n\leq2 \) alors \( v_{n+1}\leq2 \).
Par récurrence, \( \forall n\in\mathbb{N}, \; v_n\leq2 \).
Conclusion : La suite \( (v_n) \) est majorée par 2.
3. Convergence de la suite \( (v_n) \)
Une suite croissante et majorée converge (théorème de la convergence monotone).
Conclusion : La suite \( (v_n) \) est convergente.
4. Limite de la suite \( (v_n) \)
Soit \( L=\lim_{n\to\infty}v_n \). En passant à la limite dans la relation de récurrence, on a :
\[L=\frac{1}{2}L+1.\]
En isolant \( L \) :
\[L-\frac{1}{2}L=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}L=1 \quad\Longrightarrow\quad L=2.\]
Conclusion : \( \lim_{n\to\infty}v_n=2 \).
Résumé des résultats :
Pour la suite \( (u_n) \) :
- \( u_0=\frac{1}{5} \), \( u_1=\frac{1}{5} \), \( u_2=\frac{9}{19} \).
- La suite \( (u_n) \) est convergente et \( \lim_{n\to\infty}u_n=\frac{3}{2} \).
Pour la suite \( (v_n) \) :
- La suite est croissante et majorée par 2.
- La suite \( (v_n) \) est convergente et \( \lim_{n\to\infty}v_n=2 \).
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