Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
Comprendre les Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
Nous vous proposons d’étudier plusieurs aspects de la géométrie analytique en travaillant sur trois parties distinctes.
Partie A : Points et Distances
1. Trouver la distance entre les points \(A = (1, 2)\) et \(B = (4, 6)\).
2. Vérifier si le triangle formé par les points \(A = (1, 2)\), \(B = (4, 6)\), et \(C = (6, 3)\) est un triangle isocèle, équilatéral ou scalène.
Partie B : Équations de droites
1. Écrire l’équation de la droite passant par les points \(A\) et \(B\) mentionnés ci-dessus.
2. Déterminer si le point \(C\) se trouve sur la droite passant par \(A\) et \(B\). Justifier votre réponse.
Partie C : Intersection et Vecteurs
1. Soit la droite \(D_1\) l’ensemble des points \((x, y)\) tels que \(y = 2x + 1\) et la droite \(D_2\) l’ensemble des points \((x, y)\) tels que \(y = -x + 5\). Trouver le point d’intersection de \(D_1\) et \(D_2\).
2. Calculer le vecteur normal à la droite \(D_1\) et expliquer son importance.
Correction : Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
Partie A : Points et Distances
1. Calcul de la distance entre les points A et B :
La formule de la distance entre deux points \((x_1,y_1)\) et \((x_2,y_2)\) est :
\[d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}.\]
Pour \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\) :
\[d_{AB} = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{3^2 + 4^2}\]
\[d_{AB} = \sqrt{9 + 16}\]
\[d_{AB} = \sqrt{25}\]
\[d_{AB} = 5.\]
2. Caractérisation du triangle \(ABC\) formé par \(A\), \(B\) et \(C\)
Calculons les distances entre chaque paire de points.
- Distance \(AB\) : Déjà calculée, \(AB = 5\).
- Distance \(AC\) :
\[AC = \sqrt{(6-1)^2 + (3-2)^2}\]
\[AC = \sqrt{5^2 + 1^2}\]
\[AC = \sqrt{25+1}\]
\[AC = \sqrt{26}.\]
- Distance \(BC\)} :
\[BC = \sqrt{(6-4)^2 + (3-6)^2}\]
\[BC = \sqrt{2^2 + (-3)^2}\]
\[BC = \sqrt{4+9}\]
\[BC = \sqrt{13}.\]
Les trois distances sont :
\[AB = 5\]
\[AC = \sqrt{26}\]
\[BC = \sqrt{13}.\]
Aucune de ces distances n’est égale aux deux autres. Le triangle \(ABC\) est donc scalène.
Partie B : Équations de droites
1. Écriture de l’équation de la droite passant par \(A\) et \(B\)
Le coefficient directeur \(m\) est donné par :
\[m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}\]
\[m = \frac{6-2}{4-1}\]
\[m = \frac{4}{3}.\]
- Utilisons la forme point–pente de l’équation de la droite :
\[y – y_A = m(x – x_A).\] - En prenant \(A(1,2)\) :
\[y – 2 = \frac{4}{3}(x – 1).\]
Développons :
\[y = \frac{4}{3}x – \frac{4}{3} + 2\]
\[y = \frac{4}{3}x + \left(2-\frac{4}{3}\right)\]
\[y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}.\]
L’équation de la droite est donc :
\[y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}.\]
2. Vérification de l’appartenance du point \(C=(6,3)\) à cette droite
Pour vérifier si \(C\) appartient à la droite, on substitue \(x = 6\) dans l’équation :
\[y = \frac{4}{3}\times 6 + \frac{2}{3}\]
\[y = \frac{24}{3} + \frac{2}{3}\]
\[y = \frac{26}{3}.\]
On obtient :
\[y = \frac{26}{3}\]
\[y \approx 8,67.\]
Le point \(C\) a pour ordonnée \(3\) et non \(\frac{26}{3}\). Donc, \(C\) ne se trouve pas sur la droite} passant par \(A\) et \(B\).
Partie C : Intersection et Vecteurs
1. Recherche du point d’intersection des droites \(D_1\) et \(D_2\)
Les droites sont données par :
\[D_1 : y = 2x + 1 \quad \text{et} \quad D_2 : y = -x + 5.\]
Pour trouver leur point d’intersection, on égalise les expressions de \(y\) :
\[2x + 1 = -x + 5.\]
Résolvons cette équation :
\[2x + x = 5 – 1 \quad \Longrightarrow \quad 3x = 4 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{4}{3}.\]
Pour trouver \(y\), substituons \(x\) dans l’une des équations (prenons \(D_1\)) :
\[y = 2\left(\frac{4}{3}\right) + 1\]
\[y = \frac{8}{3} + 1\]
\[y = \frac{8}{3} + \frac{3}{3}\]
\[y = \frac{11}{3}.\]
Le point d’intersection est donc :
\[\left(\frac{4}{3}, \frac{11}{3}\right).\]
2. Calcul du vecteur normal à la droite \(D_1\)
La droite \(D_1\) est donnée par :
\[y = 2x + 1.\]
Pour obtenir la forme générale \(Ax+By+C=0\), on réécrit :
\[2x – y + 1 = 0.\]
Dans cette forme, le vecteur normal \(\vec{n}\) à la droite est constitué des coefficients de \(x\) et \(y\).
Ainsi :
\[\vec{n} = (2, -1).\]
Importance du vecteur normal :
- Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite.
- Il est essentiel pour calculer la distance d’un point à une droite.
- Il intervient dans la définition de l’équation cartésienne d’une droite et est utilisé en analyse vectorielle pour déterminer des directions orthogonales.
Résumé des résultats :
- Partie A :
\(AB = 5,\quad AC = \sqrt{26},\quad BC = \sqrt{13}\) \(\Longrightarrow\) Triangle scalène.
- Partie B :
L’équation de la droite passant par \(A(1,2)\) et \(B(4,6)\) est :
\[y = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}.\]
Le point \(C(6,3)\) n’appartient pas à cette droite.
- Partie C :
Le point d’intersection de \(D_1 : y = 2x + 1\) et \(D_2 : y = -x + 5\) est :
\[\left(\frac{4}{3}, \frac{11}{3}\right).\]
Un vecteur normal à la droite \(D_1\) est :
\[\vec{n} = (2, -1),\]
ce qui est fondamental pour définir la perpendiculaire à la droite et pour diverses applications analytiques.
Coordonnées et Vecteurs dans le Plan Cartésien
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