Résolution d’une Inéquation

Comprendre la Résolution d’une Inéquation

Lucas veut acheter des livres pour la rentrée. Chaque livre coûte 15 euros. Il a déjà économisé 45 euros et peut économiser 10 euros de plus chaque semaine.

Lucas a repéré plusieurs livres et souhaite savoir après combien de semaines il aura assez d’argent pour acheter au moins 5 livres.

Question :

Combien de semaines Lucas doit-il encore économiser pour acheter au moins 5 livres ?

Correction : Résolution d’une Inéquation

1. Établissement de l’Inéquation

Calcul du coût total pour 5 livres:

\[ 5 \times 15 = 75 \text{ euros} \]

Équation de l’épargne de Lucas:

\[ 45 + 10x \geq 75 \]

où \(x\) représente le nombre de semaines supplémentaires nécessaires pour économiser suffisamment.

2. Résolution de l’Inéquation

Isoler \(x\) de l’inéquation :

\[ 10x \geq 75 – 45 \] \[ 10x \geq 30 \] \[ x \geq 3 \]

3. Substitution pour Vérification

Substitution avec \(x = 3\) (nombre minimum de semaines):

\[ = 45 + 10 \times 3 \] \[ = 45 + 30 \] \[ = 75 \text{ euros} \]

Lucas a exactement 75 euros, ce qui est suffisant pour acheter 5 livres.

Substitution avec \(x = 2\) (pour tester si moins de 3 semaines suffisent)

\[ = 45 + 10 \times 2 \] \[ = 45 + 20 \] \[ = 65 \text{ euros} \]

Avec seulement 65 euros, Lucas ne peut pas acheter les 5 livres, car il lui manque 10 euros.

Conclusion

Lucas doit économiser pendant au moins 3 semaines supplémentaires pour avoir suffisamment d’argent pour acheter au moins 5 livres. La vérification par substitution confirme que \(x = 3\) est la solution correcte, car cela lui donne exactement le montant nécessaire, et \(x = 2\) est insuffisant, ce qui valide que \(x \geq 3\) est la bonne réponse à l’inéquation.

Résolution d’une Inéquation

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