Propriétés des Triangles
Comprendre les Propriétés des Triangles
Dans un parc d’aventure, un nouveau jeu consiste à traverser un pont suspendu qui forme un triangle avec le sol et un pilier de soutien. Le sol sous le pont est plat. Le point où le pont commence au sol est marqué A, le sommet du pilier est marqué B, et le point où le pont touche à nouveau le sol est marqué C.
Les points A, B et C forment le triangle ABC. Le pont, AB et BC, forme les côtés adjacents à l’angle droit de ce triangle.
Données :
- Le segment AB (du sol au sommet du pilier) mesure 5 mètres.
- Le segment BC (du sommet du pilier à l’autre côté du sol) mesure 5 mètres.
- L’angle au sommet du pilier (angle ABC) est un angle droit.
Questions :
- Type de Triangle : Quel type de triangle est ABC ? Justifiez votre réponse en utilisant les propriétés des triangles.
- Mesure de l’Angle : Calculez la mesure des angles A et C.
- Longueur de AC : Utilisez le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du segment AC, c’est-à-dire la longueur du pont.
- Périmètre : Calculez le périmètre du triangle ABC.
- Aire : Calculez l’aire du triangle ABC.
Correction : Propriétés des Triangles
1. Type de Triangle :
Les segments AB et BC mesurent chacun 5 mètres, ce qui signifie qu’ils sont de même longueur.
Définition : Dans un triangle rectangle, si les deux côtés adjacents à l’angle droit sont égaux, le triangle est isocèle.
Ici, AB = BC, donc le triangle ABC est un triangle rectangle isocèle.
2. Mesure des Angles A et C
La somme des angles dans un triangle est de 180°. Les angles A et C sont la base du triangle. Puisque l’angle \( B \) mesure 90°, il reste \( 180° – 90° = 90° \) à répartir entre les angles \( A \) et \( C \).
Ici on a :
\[\angle A + \angle B + \angle C = 180° \]
Dans un triangle isocèle rectangle, les angles \( A \) et \( C \) sont égaux, donc :
\[A = C = \frac{90°}{2} = 45°.\]
Résultat : Les angles A et C mesurent 45°.
3. Longueur de \( AC \) (hypoténuse du triangle)
Le théorème de Pythagore permet de relier les longueurs des côtés d’un triangle rectangle pour trouver la longueur de l’hypoténuse. La longueur de l’hypoténuse est donnée par :
\[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}.\]
\[AB^2 = 5^2 = 25\] et \[BC^2 = 5^2 = 25.\]
Donc,
\[AC^2 = 25 + 25 = 50.\]
On peut simplifier :
\[AC = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}.\]
Résultat : La longueur du segment \( AC \) est \( 5\sqrt{2} \) mètres.
4. Périmètre du triangle \( ABC \)
Le périmètre est la somme des longueurs des côtés du triangle :
\[P = AB + BC + AC.\]
En substituant :
\[P = 5 + 5 + 5\sqrt{2}\]
\[P= 10 + 5\sqrt{2}.\]
Résultat : Le périmètre du triangle \( ABC \) est \( 10 + 5\sqrt{2} \) mètres.
5. Aire du triangle \( ABC \)
L’aire dans un triangle rectangle est donnée par :
\[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times (\text{longueur de la base}) \times (\text{hauteur}).\]
Dans le triangle \( ABC \) rectangle en \( B \), on peut considérer \( AB \) et \( BC \) comme la base et la hauteur.
Calcul :
\[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 5 \times 5\]
\[\text{Aire} = \frac{25}{2} = 12,5 \text{ m}^2.\]
Résultat : L’aire du triangle \( ABC \) est \( 12,5 \) mètres carrés.
Résumé des Résultats :
- Le triangle \( ABC \) est un triangle rectangle isocèle avec \( AB = BC = 5 \) m et \(\angle B = 90°\).
- Mesure des angles : \( \angle A = \angle C = 45° \).
- Longueur du pont (segment \( AC \)) :} \( AC = 5\sqrt{2} \) mètres.
- Périmètre : \( P = 10 + 5\sqrt{2} \) mètres.
- Aire : \( \text{Aire} = 12,5 \) m\(^2\).
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