Calcul de longueur dans un parc triangulaire
Comprendre le Calcul de la longueur dans un parc triangulaire
Un parc public est conçu en forme de triangle rectangle. Le côté le plus long du triangle, appelé l’hypoténuse, est un chemin qui sépare le parc en deux zones distinctes : une aire de jeux et un espace vert.
Données :
- Le triangle ABC est rectangle en B.
- Les longueurs des côtés AB et BC représentent respectivement la limite de l’aire de jeux et l’espace vert, sont de 30 mètres et 40 mètres.
- Le chemin AC, qui est l’hypoténuse, sépare les deux espaces.
Questions :
1. Calcul de l’hypoténuse AC : Utilise le théorème de Pythagore pour calculer la longueur du chemin AC qui sépare l’aire de jeux de l’espace vert.
2. Discussion sur l’utilisation de l’espace : Si le parc souhaite augmenter la taille de l’aire de jeux sans modifier la taille de l’espace vert, quelle recommandation pourrais-tu faire concernant la forme du triangle ? Explique pourquoi.
3. Problème supplémentaire : Si un nouveau chemin est prévu pour relier directement l’angle B au milieu de AC, quelle sera la longueur de ce nouveau chemin ? (Indice : Divise AC en deux et applique le théorème de Pythagore dans le nouveau triangle formé).
Correction : Calcul de longueur dans un parc triangulaire
1. Calcul de l’hypoténuse AC
Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore donne :
\[AC^2 = AB^2 + BC^2.\]
Avec \(AB = 30\) m et \(BC = 40\) m, nous avons :
\[AC^2 = 30^2 + 40^2\]
\[AC^2 = 900 + 1600\]
\[AC^2 = 2500.\]
En prenant la racine carrée des deux côtés :
\[AC = \sqrt{2500} = 50 m.\]
Résultat :
\[AC = 50 m\]
2. Discussion sur l’utilisation de l’espace
L’aire du triangle \(ABC\) est donnée par :
\[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times AB \times BC.\]
Ici, avec \(AB = 30\) m et \(BC = 40\) m, l’aire actuelle est :
\[\text{Aire} = \frac{1}{2} \times 30 \times 40 = 600 \text{ m}^2.\]
Si le parc souhaite augmenter la taille de l’aire de jeux, cela signifie qu’on souhaite augmenter la longueur du côté AB (la limite de l’aire de jeux) tout en gardant \(BC = 40\) m (la taille de l’espace vert reste inchangée).
Recommandation :
Pour agrandir l’aire de jeux, il faudrait augmenter AB. Cependant, dans un triangle rectangle, augmenter AB tout en gardant BC constant modifiera la forme du triangle. En effet, si AB devient plus grand, la longueur de l’hypoténuse AC augmentera également. L’angle B (initialement droit) ne pourra plus rester exactement de \(90^\circ\) si la configuration géométrique originale est conservée.
En résumé, pour augmenter l’aire de jeux sans changer l’espace vert, il faudrait envisager de modifier la forme du triangle en allongeant le côté AB (et par conséquent AC) ou repenser la configuration du parc pour que le nouvel agencement permette une aire de jeux plus grande tout en gardant intacte la dimension de l’espace vert.
3. Longueur du nouveau chemin BD
Si un nouveau chemin est prévu pour relier directement l’angle B au milieu de AC, calculons la longueur de ce nouveau chemin.
Soit D le milieu de l’hypoténuse AC. Dans un triangle rectangle, il existe une propriété remarquable : le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets. Autrement dit, la distance BD est égale à la moitié de la longueur de AC.
Nous avons trouvé précédemment que :
\[AC = 50 \text{ m}.\]
Ainsi :
\[BD = \frac{AC}{2}\]
\[BD = \frac{50}{2}\]
\[BD = 25 m.\]
Résultat :
\[BD = 25 m\]
Résumé des résultats :
- Hypoténuse AC : \(AC = 50 m.\)
- Recommandation pour augmenter l’aire de jeux : Augmenter la longueur du côté AB tout en gardant BC constant permettra d’accroître l’aire de jeux. Cependant, cela modifiera la forme du triangle (l’hypoténuse AC s’allongera et l’angle en B pourrait ne plus être exactement de \(90^\circ\)). Il faudra donc repenser la configuration géométrique du parc.
- Longueur du nouveau chemin BD : BD = 25 m.
Calcul de longueur dans un parc triangulaire
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