Analyse et Manipulations de Matrices
Comprendre l’Analyse et Manipulations de Matrices
Données:
Soit les matrices \(A\) et \(B\) définies par :
\[ A = \begin{bmatrix}
2 & 4 \\
-1 & 3
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\
2 & -3
\end{bmatrix} \]
Questions :
Partie A : Opérations de base
1. Calculez \(A + B\).
2. Calculez \(AB\) et \(BA\). Commentez les résultats obtenus.
Partie B : Propriétés des matrices
3. Trouvez le déterminant de \(A\) et de \(B\).
4. Déterminez si \(A\) et \(B\) sont inversibles. Si oui, calculez \(A^{-1}\) et \(B^{-1}\).
Partie C : Applications des matrices inverses
5. Utilisez les inverses de \(A\) et \(B\) (si elles existent) pour résoudre le système d’équations linéaires suivant, où \(X\) est la matrice inconnue :
\[ AX + B = X \]
Partie D : Valeurs propres et vecteurs propres
6. Calculez les valeurs propres de \(A\).
7. Trouvez un vecteur propre associé à chaque valeur propre de \(A\).
Correction : Analyse et Manipulations de Matrices
Partie A : Opérations de base
1. Calcul de \(A + B\)
L’addition de deux matrices se fait élément par élément.
\[A+B=\begin{pmatrix}2+0 & -1+2\\ 4+1 & 3+(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 0\end{pmatrix}.\]
2. Calcul de \(AB\) et \(BA\)
- Calcul de \(AB\) :
Pour deux matrices \(2 \times 2\) \(A=(a_{ij})\) et \(B=(b_{ij})\), le coefficient \((AB)_{ij}\) s’obtient par
\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{2} a_{ik}\, b_{kj}.\]
On a donc :
\[AB=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 4 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 2\\ 1 & -3\end{pmatrix}\]
\[AB=\begin{pmatrix}
2\cdot0+(-1)\cdot1 & 2\cdot2+(-1)\cdot(-3)\\[1mm]
4\cdot0+3\cdot1 & 4\cdot2+3\cdot(-3)
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
-1 & 7\\[1mm]
3 & -1
\end{pmatrix}.\]
- Calcul de \(BA\) :
\[BA=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & -1\\ 4 & 3\end{pmatrix}\]
\[BA=\begin{pmatrix} 0\cdot2+2\cdot4 & 0\cdot(-1)+2\cdot3\\[1mm]1\cdot2+(-3)\cdot4 & 1\cdot(-1)+(-3)\cdot3
\end{pmatrix}\]
\[BA=\begin{pmatrix}
8 & 6\\[1mm]
-10 & -10
\end{pmatrix}.\]
Commentaire : On constate que \(AB \neq BA\). Ceci montre que, de manière générale, la multiplication de matrices n’est pas commutative.
Partie B : Propriétés des matrices
3. Déterminant de \(A\) et \(B\)
Pour une matrice \(2 \times 2\) \(M=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d\end{pmatrix}\), le déterminant est donné par
\[\det(M)=a\cdot d – b\cdot c.\]
- Pour \(A\) :
\[\det(A)=2\cdot3 – (-1)\cdot4\]
\[\det(A)= 6+4\]
\[\det(A)= 10.\]
- Pour \(B\) :
\[\det(B)=0\cdot(-3) – 2\cdot1\]
\[\det(B)= 0-2\]
\[\det(B)= -2.\]
4. Inversibilité et calcul des inverses
Une matrice est inversible si son déterminant est non nul.
- Pour \(A\), puisque \(\det(A)=10\neq0\),
\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\, \begin{pmatrix}3 & 1\\ -4 & 2\end{pmatrix}\]
\[A^{-1}=\frac{1}{10}\, \begin{pmatrix}3 & 1\\ -4 & 2\end{pmatrix}.\] - Pour \(B\), puisque \(\det(B)=-2\neq0\),
\[B^{-1}=\frac{1}{\det(B)}\, \begin{pmatrix}-3 & -2\\ -1 & 0\end{pmatrix}\]
\[B^{-1}=\frac{1}{-2}\, \begin{pmatrix}-3 & -2\\ -1 & 0\end{pmatrix}.\]
En simplifiant,
\[B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2} & 1\\[1mm]\frac{1}{2} & 0\end{pmatrix}.\]
Partie C : Applications des matrices inverses
5. Résolution du système matriciel \(AX+B=X\)
- On cherche la matrice \(X\) telle que
\[AX+B=X.\]
On réorganise l’équation en soustrayant \(X\) aux deux membres:
\[AX – X = -B.\]
En factorisant \(X\) à gauche:
\[(A-I)X=-B,\]
où \(I\) est la matrice identité \(2 \times 2\).
Sous l’hypothèse que \(A-I\) est inversible, on a:
\[X=-(A-I)^{-1}B.\]
- Calculons \(A-I\):
\[A-I=\begin{pmatrix}2-1 & -1-0\\[1mm] 4-0 & 3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 4 & 2\end{pmatrix}.\]
Le déterminant de \(A-I\) est:
\[\det(A-I)=1\cdot2 – (-1)\cdot4 = 2+4 = 6.\]
Ainsi,
\[(A-I)^{-1}=\frac{1}{6}\, \begin{pmatrix}2 & 1\\ -4 & 1\end{pmatrix}.\]
- Calculons ensuite le produit \((A-I)^{-1}B\):
\[(A-I)^{-1}B= \frac{1}{6}\, \begin{pmatrix}2 & 1\\ -4 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2\\ 1 & -3\end{pmatrix}\]
\[(A-I)^{-1}B=\frac{1}{6}\, =\begin{pmatrix}2\cdot0+1\cdot1 & 2\cdot2+1\cdot(-3)\\[1mm] -4\cdot0+1\cdot1 & -4\cdot2+1\cdot(-3) \end{pmatrix}\]
\[(A-I)^{-1}B=\frac{1}{6}\, \begin{pmatrix}1 & 4-3\\[1mm] 1 & -8-3 \end{pmatrix} \]
\[(A-I)^{-1}B=\frac{1}{6}\, \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -11\end{pmatrix}.\]
D’où,
\[X=-\frac{1}{6}\, \begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & -11\end{pmatrix}\]
\[X=\begin{pmatrix} -\frac{1}{6} & -\frac{1}{6} \\[1mm] -\frac{1}{6} & \frac{11}{6} \end{pmatrix}.\]
Partie D : Valeurs propres et vecteurs propres
6. Calcul des valeurs propres de \(A\)
Les valeurs propres \(\lambda\) de \(A\) sont les solutions de l’équation caractéristique:
\[\det(A-\lambda I)=0.\]
- Pour
\[A=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 4 & 3\end{pmatrix},\]
On a:
\[A-\lambda I=\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\ 4 & 3-\lambda\end{pmatrix}.\]
Le déterminant est:
\[\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)-(-1)(4)\]
\[\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)(3-\lambda)+4.\]
En développant:
\[(2-\lambda)(3-\lambda)=6-5\lambda+\lambda^2.\]
- L’équation caractéristique devient:
\[\lambda^2-5\lambda+6+4=\lambda^2-5\lambda+10=0.\]
Le discriminant est:
\[\Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot10\]
\[\Delta=25-40\]
\[\Delta=-15.\]
Les valeurs propres sont donc complexes:
\[\lambda_{1,2}=\frac{5\pm i\sqrt{15}}{2}.\]
7. Calcul des vecteurs propres de \(A\)
Pour une valeur propre \(\lambda\), on cherche un vecteur non nul \(v=(x,y)^T\) tel que :
\[(A-\lambda I)v=0.\]
Pour \(A=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 4 & 3\end{pmatrix}\), le système s’écrit:
\[\begin{cases}
(2-\lambda)x – y=0,\\[1mm]
4x+(3-\lambda)y=0.
\end{cases}\]
- La première équation donne:
\[y=(2-\lambda)x.\]
En choisissant \(x=1\) (solution non triviale), on obtient:
\[v=\begin{pmatrix}1\\ 2-\lambda\end{pmatrix}.\]
Ainsi, pour
\[\lambda_1=\frac{5+i\sqrt{15}}{2}, \quad v_1=\begin{pmatrix}1\\ 2-\frac{5+i\sqrt{15}}{2}\end{pmatrix}\]
\[v_1=\begin{pmatrix}1\\ \frac{-1-i\sqrt{15}}{2}\end{pmatrix},\]
et pour
\[\lambda_2=\frac{5-i\sqrt{15}}{2}, \quad v_2=\begin{pmatrix}1\\ 2-\frac{5-i\sqrt{15}}{2}\end{pmatrix}\]
\[v_2=\begin{pmatrix}1\\ \frac{-1+i\sqrt{15}}{2}\end{pmatrix}.\]
Récapitulatif des résultats :
- \(A+B=\begin{pmatrix}2 & 1\\ 5 & 0\end{pmatrix}\).
- \(AB=\begin{pmatrix}-1 & 7\\ 3 & -1\end{pmatrix}\) et \(BA=\begin{pmatrix}8 & 6\\ -10 & -10\end{pmatrix}\). (On note que \(AB \neq BA\).)
- \(\det(A)=10\) et \(\det(B)=-2\).
- \(A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}3 & 1\\ -4 & 2\end{pmatrix}\) et \(B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{3}{2} & 1\\[1mm]\frac{1}{2} &
- Pour le système \(AX+B=X\), on trouve
\[X=\begin{pmatrix}-\frac{1}{6} & -\frac{1}{6}\\[1mm]-\frac{1}{6} & \frac{11}{6}\end{pmatrix}.\] - Les valeurs propres de \(A\) sont
\[\lambda_{1,2}=\frac{5\pm i\sqrt{15}}{2}.\] - Les vecteurs propres associés sont, pour \(\lambda_1=\frac{5+i\sqrt{15}}{2}\):
\[v_1=\begin{pmatrix}1\\ \frac{-1-i\sqrt{15}}{2}\end{pmatrix},\]
et pour \(\lambda_2=\frac{5-i\sqrt{15}}{2}\):
\[v_2=\begin{pmatrix}1\\ \frac{-1+i\sqrt{15}}{2}\end{pmatrix}.\]
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